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\fancyhead[R]{Übungsblatt Nr. 1\\
Florian Hofsäss}
\fancyhead[L]{Fach: Mathematik\\ Übungaufgaben }
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\begin{document}
\textbf{Aufgabe 1.10}

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen $n>2$ die Aussage $n+\sqrt{n}<n*\sqrt{n}$ wahr ist

\section*{Antwort}

Induktionsvoraussetzung: $n>2$ und $n+\sqrt{n}<n*\sqrt{n}$\\
Induktionsanfang: $n=3$\\
\begin{align*} 
n+\sqrt{n} <n*\sqrt{n}\\
3+\sqrt{3}<3*\sqrt{3} = 3+1,73<3*1,73 = 4,73 < 5,19
\end{align*}
Induktionsschluss:
\begin{eqnarray}
\label{eq:1}
n+1+\sqrt{n+1}<(n+1)*\sqrt{n+1}\\
<n\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}
\label{eq:2}
\end{eqnarray} 
Nebenrechnung zu \ref{eq:2} auf \ref{eq:3}: $n*\sqrt{n+1}$ muss größer sein als $n*\sqrt{n}$. 
\begin{eqnarray}
<n\sqrt{n}+\sqrt{n+1}
\label{eq:3}
\end{eqnarray}
Nebenrechnung von \ref{eq:3} auf \ref{eq:4}: Aufgrund der grundlegenden Annahme, dass $n+\sqrt{n} < n\sqrt{n}$ ist, dürfen wir $n\sqrt{n}$ durch $n+\sqrt{n}$ ersetzen.
\begin{eqnarray}
<n+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}
\label{eq:4}\\
=> n+1+\sqrt{n+1} <n+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}
\label{eq:5}
\end{eqnarray}
Nebenrechnung von \ref{eq:5} auf \ref{eq:6}: Aufgrund der Bedingung $n>2$ muss $\sqrt{n}$  auf jeden Fall größer als $1$ sein:
\begin{eqnarray}
n+1+\sqrt{n+1} \quad q.e.d
\label{eq:6}
\end{eqnarray}
Da man ja ursprünglich beweisen wollte, dass linker Term $<$ ist als der Rechte, sieht der korrekte Induktionsschluss also wie folgt aus:
Zu Beweisen gilt $(n+1)*\sqrt{n+1} > n+1+\sqrt{n+1}$\\
\begin{eqnarray*}
(n+1)*\sqrt{n+1} = n*\sqrt{n}+\sqrt{n} > n\sqrt{n}+\sqrt{n+1} > n+\sqrt{n}+\sqrt{n+1} > n+1+\sqrt{n+1}\\
=> (n+1)*\sqrt{n+1} > ... > n+1\sqrt{n+1}
\end{eqnarray*}
\end{document}

